Matemáticas I

BLOQUE I: RESUELVES PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS.
En el Bloque I aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos.
BLOQUE II: UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES.
En el Bloque II aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables.
BLOQUE III: REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS.
En el Bloque III se estudiarán sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales).
BLOQUE IV: REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I.
BLOQUE V: REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II.
En los Bloques IV y V se estudiarán operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones
racionales).
BLOQUE VI: RESUELVES ECUACIONES LINEALES I.
BLOQUE VII: RESUELVES ECUACIONES LINEALES II.
BLOQUE VIII: RESUELVES ECUACIONES LINEALES III.
En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.
BLOQUE IX: RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS I.
BLOQUE X: RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS II.
Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática.

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Matemáticas I

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Bloque I RESUELVES PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Desempeños del estudiante al concluir el bloque
  1. Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.
  2. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
  3. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
  4. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
  5. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.
  6. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.
  7. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. 
 Objetos de aprendizaje
Representación de relaciones entre magnitudes
Modelos aritméticos o algebraicos
Competencias a desarrollar
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos
Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o fenómenos sociales, naturales económicos y administrativos asumiendo una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de su entorno social y/ o natural.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desarrollo

Para comenzar revisemos las siguientes ligas y reafirmemos lo aprendido
http://es.wikipedia.org/wiki/Número_real
http:/ / canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTRepresentacion.pdf

Observa el siguiente video de la clasificacion de los números


Clasificacion de los numeros
 
Jerarquia de operaciones
 
Realizaremos calculo de porcentajes, descuentos e intereses.
 








BLOQUE II: UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES

Desempeños del estudiante al concluir el bloque
  1. Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.
  2. Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales.
  3. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa.
  4. Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales.
Objetos de aprendizaje
  • Números reales: representación y operaciones
  • Tasas
  • Razones
  • Proporciones y Variaciones
Competencias a desarrollar
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

Desarrollo

 Realiza la vista a la siguiente direccion electronica http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm 

 Representación de los numeros en la recta numerica:

Reales, Números, los números positivos y negativos, junto con el cero, excluyendo a los números imaginarios. Los números reales son una extensión de, e incluyen, las clases más intuitivas de números, los números naturales, los enteros y los racionales.
Una de las propiedades más importantes de estos números es el poder de representarlos por puntos de una línea recta. Se un punto llamado origen , para representar el cero, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta entonces una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y cada número real viene representado por un punto único.




Razones y Proporciones

De la Aritmética al Álgebra > Razones y Proporciones
El primer término de una razón se llama antecedente, dividendo o numerador. El segundo término de una razón se llama consecuente, divisor o nominador. Una razón puede representar números racionales o irracionales.
Propiedad Fundamental de las Proporciones:
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
1x6=2x3 6=6
Toda proporción puede escribirse de cuatro maneras diferentes:

La segunda se ha obtenido permutando los medios de la primera y las dos restantes se han formado tomando respectivamente, la recíproca de cada razón de las primeras.
En cada caso se tiene:
ad=bc Ejemplos:
En un mercado se vende 3 manzanas por $3.50 ¿Cuántos se tiene que pagar por 9 manzanas?

Tipos de Proporciones

A) Proporción Directa
Dos cantidades a y b son Directamente Proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.
Se le simboliza como ( k =cte. proporcionalidad)
Los cocientes que forman una proporción directa tienen siempre un valor constante.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
B) Proporción Inversa
Dos cantidades, a y b, son Inversamente Proporcionales cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces.
Se le simboliza como (k = cte. proporcionalidad)
El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante.
Su gráfica es asintótica al eje x.
C) Proporción Compuesta
Se presenta como una combinación de Proporciones Directas e Inversas.






Serie de 6 videos del numero

PHI

   

Sucesiones numéricas

 Sucesión, progresión, son términos que no nos resultan extraños.
    Por sucesión entendemos un conjunto ordenado de números reales. En cada sucesión encontraremos por tanto una serie de números, cada uno de valor distinto, y que ocupa una posición concreta.
{1; 2; 3; 4; 5;…} es una sucesión distinta a la sucesión {5; 4; 3; 2; 1;….} ya que aunque observemos los mismos valores, el orden en que se encuentran es diferente; así la primera sucesión tiene como primer término el 1, mientras que la segunda tiene como primer término el 5.
    Cada uno de los elementos que forman la sucesión, recibe el nombre de término; y cuando queremos nombrar estos valores de forma genérica, lo hacemos mediante una letra con subíndice, que nos indica la posición del término del que estamos hablando.
an 
    En la sucesión {2; 4; 6; 8;…} si hablamos del término a3 estamos nombrando al tercer elemento de la sucesión, cuyo valor es 6. Lo expresamos diciendo que:   a3 = 6
    Para dar a conocer las sucesiones, lo podemos hacer de tres formas:
  • mostrando los términos de la sucesión {1; 3; 5; 7;…}
  • mediante una frase que describa la sucesión: “El conjunto de los números naturales”
  • o por medio del término general, expresión (fórmula) que permite conocer el valor de cada  elemento dependiendo de la posición que ocupa (n).   an = 2n-1
Ejemplos.-
  • {2; 5; 8; 11;14;…}
  • {-25; -30; -35; -40;…}
  • an= n2-7n+12
  • “Los cubos de los números naturales”
Ejercicios.- Dados los cuatro valores primeros de una serie, intenta averiguar los siguientes.
  1. {5; 6; 7; 8; …}
  2. {1; 5; 25; 125; … }
  3. {3; 4; 7; 11; …}
  4. {7; 14; 21; 28; …}
  5. {30; 20; 10; 0; …}
  6. {10; 7; 4; 1; …}
    Introduce los valores en los casilleros, y pulsa en el botón para tener ayuda

PROGRESIONES

    Son las sucesiones que mayor interés tienen para nosotros, existen dos tipos:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

    Una progresión aritmética, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia.
    De ellas podemos decir también, que si restamos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la diferencia (d).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones aritméticas es:

an = a1+(n-1)d
siendo     an   el término n-esimo
                a1  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                d    la diferencia (valor  que separa a dos términos consecutivos)

Ejemplo.-
    {4; 12; 20; 28;…}
                La sucesión es una progresión aritmética, ya que la diferencia (d) entre términos consecutivos es un valor constante
        12 – 4 = 8                    20 – 12 = 8                28 – 20 = 8       es decir, la diferencia d = 8
                Podríamos razonar también que cada término se obtiene sumando una cantidad  (d) constante al anterior
            12 = 4 + 8             20 = 12 + 8                   28 = 20 + 8             

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1) el último (an) y el número de términos que intervienen (n)

suma n términos prog aritmética
Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {4; 12; 20; 28;…}, la obtenemos calculando primero el término 10
a10 = a1 + (10-1)8 = 4 + 9 . 8 = 76

S10 = (4 + 76 ) . 10 / 2
S10 = 400

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.-

    Una progresión geométrica, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.
    De ellas podemos decir también, que si dividimos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la razón (r).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones geométricas es:
an = a1 rn-1
siendo     an   el término n-esimo
                a1  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                r    la razón (valor que es el resultado de dividir dos términos consecutivos)
Ejemplo.-
    {2; 4; 8; 16;…}
                La sucesión es una progresión geométrica, ya que al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante
        4 / 2 = 2                    8 / 4 = 2                16 / 8 = 2      es decir, la razón es r = 2
                Podríamos razonar también que cada término se obtiene multiplicando por una cantidad  (r) constante al anterior
            2 . 2 = 4             4 . 2 = 8                   8 . 2 = 16            

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1), el último (an) y la razón (r) además del número de términos que intervienen (n), o como muestra la segunda expresión, si conocemos el primer término (a1) la razón (r) y el número de términos que intervienen (n)

Suma n términos prog geométrica
Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {1; 2; 4; 8;…}, la podemos obtener con el primer término y conociendo la razón (r =2)
S10 = (1 . 29 – 1) / (2 – 1) =  511

S10 = 511

SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    En algunos casos podemos averiguar cual va a ser su valor de una forma sencilla. Según sea el valor de la razón, podemos hablar de tres casos:
  • Si  -1 > r >1    ================-1——-0——-1=====================
    Cuando la razón tiene un valor absoluto mayor que la unidad, el resultado de sumar sus infinitos términos, es siempre infinito ( ).
Ejemplo.- {3; 9; 27; 81; …}                3 + 9 + 27 + 81 + … =
  • Si r = -1             ———————–-1————————————————–
    En este caso cada uno de los términos y el que le sigue, son siempre opuestos, de ahí que la suma tendrá que ser cero (0)
Ejemplo.- {3; -3; 3; -3; …}                    3 – 3 +  3 – 3 + 3 – 3 + … = 0        lo podemos expresar  de forma genérica
                {a1; -a1; a1; -a1; …}                a1 -a1 + a1 -a1 + a1 -a1 +… = 0
  • Si   -1 < r <1       ———————–-1=====0=====1——————————–
    Cuando la razón tiene un valor absoluto menor que la unidad, el resultado lo podemos obtener mediante la expresión que conocemos , que podemos desglosar en dos sumandos, .
    Si consideramos que un valor menor que la unidad (la razón en este caso) al elevarla a las distintas potencias se va haciendo menor, podremos decir que r = 0, en cuyo caso el primero de los sumandos será también nulo, quedando la expresión:







COMPARANDO.-
  • Definiciones
    Es importante que apreciemos la diferencia entre ambos tipos de progresiones, y para hacerlo nada mejor que comparar las definiciones dadas.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia. Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.
    Podemos observar que difieren, como definición, en un par de palabras.
  • Series

Números Naturales
Aritmética d=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2Núm. Naturales
Geométrica r= 2
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
Vamos a hacer multiplicaciones “sin multiplicar”.
  1. Tomemos dos números de la segunda fila, que deseemos multiplicar   
  2. Leamos en la primera fila los números que les corresponden
  3. Sumemos estos últimos
  4. Localicemos este número en la primera fila, y leeremos el resultado justo debajo.
2 x 8

1
   3
4 16
Repite el proceso con otros dos números, p.e. multiplicar 8 x 64 = 512
Esta comparación permitio a  NEPER John (1550-1617) inventar los logaritmos.
 


Lenguaje Algebraico 
2.4 Término algebraico y sus partes
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Término algebraico

El signo indica si el término es positivo o negativo.
El coeficiente es la parte numérica del término.
La parte literal es la variable del término.
Los exponentes indican el grado del término.

Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y  y de primer grado con respecto a x.

2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
 y  son términos semejantes.
 y  son términos semejantes.
 y  no son términos semejantes.
 y  no son términos semejantes.

Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a)     Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones

b)     Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c)      Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a

Ejemplo
Reducir
Reduciendo los positivos:
Reduciendo los negativos:
Tendremos:

Grado de un término algebraico

 
 
 
Grado absoluto: se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.

Grado = 5 + 4 + 7
Grado = 16
 
Grado relativo: es el valor del exponente de cada variable.
Grado de a = 5
Grado de b = 4
Grado de c = 7

Términos semejantes
Se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal afectados con los mismos exponentes. Ejemplos:
-4 a3           Es semejante a           + 2/3 a3

+ 18 xy3     Es semejante a        xy3


Según el número de términos de una expresión algebraica, se denomina: Monomio - Un términos Ej. 4x
Binomio - Dos términos Ej. 3x+1
Trinomio - Tres términos Ej. 2x+3x+1
Cuatrinomio - Cuatro términos Ej. 3x +2x +4y+xy
Polinomios - Más de un término en forma general

  

El lenguaje algebraico

En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Lenguaje Álgebraico.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:
  • Se usan todas las letras del alfabeto.
  • Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
  • Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

Operaciones con Lenguaje Álgebraico

Aqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:
  • un número cualquiera
se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
a = un número cualquiera
b = un número cualquiera
c = un número cualquiera
... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
  • la suma de dos números cualesquiera
a+b = la suma de dos números cualesquiera
x+y = la suma de dos números cualesquiera
  • la resta de dos números cualesquiera
a-b = la resta de dos números cualesquiera
m-n = la resta de dos números cualesquiera
  • la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
  • el producto de dos números cualesquiera
ab = el producto de dos números cualesquiera
  • el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)
a/b= el cociente de dos números cualesquiera
  • la semisuma de dos números cualesquiera
(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera
  • el semiproducto de dos números cualesquiera
(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera







Operaciones con polinomios


Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. 

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 + 8x= 10x3
-5x2 + 3x= -2x3
6 - 4 = 2

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. 

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 - 8x= -6x3
-5x2 - 3x= -8x3
6 - (-4) = 10












Factorización

Descomposición de números naturales en sus factores primos

Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denomina primo.

Factorización y productos notables

Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión    ab2 + 3cb - b3 podemos factorizar  b
y obtenemos la expresión:   b(ab + 3c - b2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab2 + 3cb - b3 = b (b (a - b) + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab - b2 + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab +3c –b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:
56
42
28
÷
2
28
21
14
÷
7
4
3
2
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3, este número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.
Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14  (el máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar  9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y - 12z = 3(3x + 2y - 4z)
es decir 9x  + 6y - 12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y - 4z.
Ejemplo: Factorizar  9xy2 + 6y4 - 12 y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia común es  y2 por lo tanto la factorización queda:
9xy2 + 6y4 - 12y3z = 3y2(3x + 2y2 - 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2 - 4yz  y  3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original:
3y2(3x + 2y2 - 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2) - (3y2 * 4yz)
= 9xy2 + 6y4 - 12y3z
Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. En general no es necesario hacer la verificación de la factorización, pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido:
Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540 

Factor común

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
a · b − a · c = a · (b − c)
2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)
10 − 6 = 2 · 2
4 = 4
Sacar factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Ejemplos

1 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12)
2 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4)
37 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 = 5 (7 − 3 + 16 − 4)
46 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 = 4 (6 − 3 + 9 − 5)

Factor común en un polinomio

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será x = 0

Doble extracción de factor comúun

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Ejemplos

1polinomio
prodcuto
2xy − 2x − 3y + 6 =
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)






Reduccion de fracciones algebraicas

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común  así


Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

  1.  Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes
  1.  En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común  en el numerador e  en el denominador
  1. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.
  1. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia




Fracciones algebraicas


Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
fraccion_algebraica_001

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si  fraccion_alegraica_003 se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta: 
fraccion_alebraica_004
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
fraccion_algebraica_002
Otro ejemplo, simplificar la fracción
fraccion_algebraica_005
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
fraccion_algebraica_006
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de  fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
fraccion_algebraica_007

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
fraccion_algebraica_008

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
fraccion_algebraica_009
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. 
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
fracciones_algebraicas_010

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
fraccion_algebraica_011

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. 
Un ejemplo más:
Sumar fraccion_alegeraica_012

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x  − 3)
Hacemos
fraccion_algebraica_013
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea fraccion_algebraica_014  una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra fraccion_algebraica_015, entonces: fraccion_algebraica_016  
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
fraccion_algebraica_017
 Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
fraccion_algebraica_018
Simplificamos antes de efectuar el producto:
fraccion_algebraica_019
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
fraccion_algebraica_020

Ejemplos desarrollados
a) fraccion_algebraica_021

b) fraccion_algebraica_022

c)fraccion_algebraica_023
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea fraccion_algebraica_014 una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra fraccion_algebraica_015, entonces: 
fraccion_algebraica_024
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
fraccion_algebraica_025
Anotamos haciendo el producto cruzado:
fraccion_algebraica_026
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
fraccion_algebraica_027
Ejemplos desarrollados
a) fraccion_algebraica_028
b) fraccion_algebraica_029
c) fraccion_algebraica_030
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d) fraccion_algebraica_031

Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. 
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1) fraccion_algebraica_032

2) fraccion_algebraica_033

3)
fraccion_algebraica_034


 

Ecuaciones Lineales

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a  uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). 
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. 
 
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
ecuacines_libneales001

b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). 
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:

ecuaciones_lineales002
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12















c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
ecuaciones_lineales003
Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540 












Sistemas de ecuaciones 

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:
sistemas_ecuaciones017
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
sistemas_ecuaciones002
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
sistemas_ecuaciones003
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la  x  e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones sistema_ecuaciones001 es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones004
          
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
 24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
 − 10y = − 30
sistemas-ecuaciones005
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x  + 2(3) = 8
 x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones006
Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y).  Luego hacemos lo mismo con la y.

Se elimina la x:
sistemas_ecuaciones007               
Se elimina la y:
sistemas-ecuaciones008


Método de igualación

Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones009
           
Despejamos x en la primera ecuación:
sistemas_ecuaciones010
Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
sistemas_ecuaciones011           
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
 x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
sistemas_ecuaciones012

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
sistemas_ecuaciones013

Igualamos ambas expresiones:
sistemas_ecuaciones014
Luego, resolvemos la ecuación:
sistemas_ecuaciones015

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
sistemas_ecuaciones016
Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540 
Regla de Cramer
 
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:
 
1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
 
2. Calcular el determinante de A.
 
3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
 
a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;
 
b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;
 
c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.
 
Ejemplo:
 
Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
 
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.
 
Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
 
 
 
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
 
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
 
 




Ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)


Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
                                 ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.
 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10
3x2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
 
Solución por factorización
En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
ecuacion_seg_grado023
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
ecuacion_seg_grado024
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
ecuacion_seg_grado025
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de
ecuacion_seg_grado026
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:
ecuacion_seg_grado027
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
ecuacion_seg_grado028

Soluciones:
ecuacion_seg_grado029

Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse   x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
ecuacion_seg_grado033
 Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2  (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos ecuacion_seg_grado030
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por  2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x  + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada
ecuacion_seg_grado034, y queda
x + 3 = 5   y  x + 3 = −5
(pues  52 = 5  y también (−5)2 = 5
Entonces
x = 5 − 3 
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
 La  ecuación 1 da  x = 2   y la ecuación 2 da  x = −8.
Otro  ejemplo para analizar y estudiar:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Veamos: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:
x2 – 6x = − 8
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:
¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo
ecuacion_seg_grado031

x2 – 6x = −8       /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)
x2 − 6x + 9 = − 8 + 9
(x – 3)2 = 1
Extraemos las raíces cuadradas
ecuacion_seg-grado031

y queda
x – 3 = 1    y   x − 3 = −1

Si
x – 3 = 1
x = 1 + 3
x = 4
Si
 x – 3 = −1
x = −1 + 3
x = 2
Por lo tanto  x1 = 4 y  x2 = 2
Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

Solución por la fórmula general
 
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
Ecuacion_Seg_Grado001
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Ejemplo:  
Resolver la ecuación  2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:
Ecuacion_Seg_grado002
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
Ecuacion_Seg_grado003  y también      Ecuacion_Seg_grado004
Así es que las soluciones son Ecuacion_Seg_grado005.
Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión ecuacion_Seg_grado007. Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.
El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.
Ecuacion_Seg_Grado008
Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:
Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.
Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma  ax2 + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x2  y  x, respectivamente y  c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa
 
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
 ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0;   si    b = 0    y    c = 0.
ax2 + bx = 0;    si    c = 0.
ax2 + c = 0;    si    b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5;  b = 13;  c = 6.
Se aplica la fórmula:
Ecuacion_Seg_Grado009
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:
Ecuacion_Seg_Grado010
Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2  a las dos soluciones, que serán:
Ecuacion_seg_grado011

Ecuacion_Seg_grado012
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con Ecuacion_Seg_grado013,  se tiene
Ecuacion_Seg_Grado014

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y Ecuacion_Seg_Grado015 son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:
Ecuacion_Seg_Grado016
El discriminante (Δ)  es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2,  lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2
Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
 x2 − 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.
Veamos, si tenemos
a = 1,                b = −10        c = 21
Ecuacion_Seg_Grado018
Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que:
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x • (x + 3 ) = área de la sala.
Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0
Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 xEsta es la ecuación a resolver.
Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.
Como el largo inicial  x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.

Problema 3
Halle el área y perímetro del triángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros Ecuacion_Seg_Grado019
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25
Reagrupando:
x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2 + 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es
Ecuacion_Seg_Grado018
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.