Calculo Diferencial



Bloques que componen el programa de Calculo Diferencial



(puedes acceder al blog exclusivo de calculo diferencial,  para tener un acceso mas fluido, dale clic en cada uno de los bloques o en el titulo de esta pagina)

BLOQUE I. ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES.
En este bloque el estudiante se ubica y conoce los antecedentes históricos de la rama de las Matemáticas y cómo su nacimiento ha contribuido a los grandes avances de la humanidad.
BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL.
Se busca que el estudiante resuelva problemas sobre límites en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; mediante el análisis de tablas, gráficas y aplicación de las propiedades de los límites.
BLOQUE III. CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS, ADMINISTRATIVOS, EN LA AGRICULTURA, EN LA GANADERÍA Y EN LA INDUSTRIA.
En este bloque se estudiará la razón de cambio promedio e instantánea, el cambio de posición de un objeto en el tiempo y la interpretación geométrica de la derivada.
BLOQUE IV. CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS SOBRE LOS FENÓMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA PRODUCCIÓN, PRODUCCIÓN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA.
Se trabajará sobre la obtención de máximos y mínimos absolutos y relativos y como ellos influyen en el éxito o fracaso de las producciones empresariales, industriales, agrícolas y en el comportamiento de los fenómenos naturales.

Quieres tener el programa completo de Cálculo Diferencial da click en la siguiente liga.

Programa de Cálculo Diferencial


BLOQUE I. ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

  1. Reconoce el campo de estudio del Cálculo Diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas.
  2. Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes en cualquier situación de su vida cotidiana.

Objetos de aprendizaje
Evolución del Cálculo
Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos.

Competencias a desarrollar

Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.
Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica.
Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemáticos.

Desarrollo del bloque I.

Para inicial revisa la información contenida en la siguiente dirección:
Ahora observa los siguientes vídeos:









Elabora un comentario acerca de la lectura y videos. (colócalo en la sección de tareas).

El cálculo en la vida cotidiana:


Busca otros ejemplos de aplicación del Cálculo Diferencial.

Realiza la lectura del siguiente texto dando click aquí
 Puedes observar la siguiente presentación para aclarar tus dudas.




La historia del Cálculo empezó a finales del siglo XVII con los resultados revolucionarios de Isaac Newton y Gottfried Leibnitz sobre el movimiento y la razón de cambio.
Sin el Cálculo, la mayoría de los avances de la ciencia e ingeniería que ocurrieron en el siglo XX y que forman parte de la vida diaria, tal como los viajes aéreos y espaciales, la televisión, computadoras, la predicción del clima, los adelantos en imágenes médicas, teléfonos celulares, Internet, hornos de microondas, etc. no hubieran sucedido.
El Cálculo proporciona el lenguaje y los conceptos básicos para formular las leyes y principios fundamentales de varias disciplinas como la física, la química, la biología, la economía, ingeniería eléctrica y algunas consideradas en las ciencias sociales.
El papel de las matemáticas, y del cálculo en particular es de proveer un “sistema operativo” o un lenguaje para la ciencia, de manera que puedan resolverse problemas o situaciones.
Por lo que todo estudiante que desee continuar sus estudios superiores debe tener sólidas bases matemáticas, las cuales aplicará en su desempeño como estudiante y posteriormente como profesionista.


La siguiente liga presenta una serie de videos que revisan la historia de las matemáticas y ejemplos de aplicaciones del Cálculo:



Para esta actividad participarás con 3 de tus compañeros para realizar un mapa conceptual sobre la historia del calculo y sus aplicaciones. Deberá incluir los temas expuestos y enviar el archivo por medio de correo electrónico a cobaep15@gmail.com .
Para hacer su mapa pueden utilizar Power Point, Inspiration, cmaps o cualquier otro software que les ayude a hacerlo atractivo y organizarlo mejor.

trabajo de Daniel Josue y Jeronimo

BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL.

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
límite
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
Cálculo del límite en un punto
Cálculo del límite en un punto
Cálculo del límite en un punto
No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular límiteç, aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
función a trozos.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:límite
Por la derecha:límite
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:límite
Por la derecha:límite
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1



Avión

Miércoles


Límite de funciones. Cálculo

Propiedades.

Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto.
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.

La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es : x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:

Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :
puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:
que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.
Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:
Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :
Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:
Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:
Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.
El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:

Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:


La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.
1Racionalización del tipo cociente
Se multiplica el numerador y el denominador por raíz.
operaciones
operaciones
operaciones
operaciones
2Racionalización del tipo fracción
Se multiplica numerador y denominador por radical.
operaciones
operaciones
3Racionalización del tipo cociente, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
conjugados
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
suma por difeencia
racionalizar
racionalizar
racionalizar
racionalizar
racionalizar
racionalizar




Derivacion

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.


 

Definición de derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:


La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:
1. Dar incrementos a “x” y a “y”
2. Restar la función Original
3. Dividir entre ∆x.
4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y


Ejemplo 1:  Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)


∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.






Fórmulas de derivadas inmediatas

Derivada de una constante

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de función identidad

Derivada de función afín

Derivada de función identidad

Derivada de una potencia

Derivada de una función potencial

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una función irracional

Derivada de suma

Derivada de una suma

Derivada de de una constante por una función

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una función

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de una función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de una función exponencial

Derivada de un logaritmo

Derivada de una función logarítmica

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada de la función seno

Derivada del coseno

Derivada de la función coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la función tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada de la función arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada de la función arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada de la función arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada de la función arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada de la función arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función arcocosecante

Derivada del arcocosecante la función potencial-exponencial

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivada de la cadena

Fórmula de derivada implícita

Derivación implicita













Formulas de derivadas








Regla de la cadena

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
 
                                            
 
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
 
                                          
 
entonces la función compuesta
 
                                    
 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
 
                                    
 
 
Ejemplo: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
 
Resolución:
 
· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.
 
                                      
 
 
· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
 
             
 
· Por la regla de la cadena,
 
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
 
 
Resolución:
 
 
                                   
                                 
                        
 
 
· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,
 
· Por la regla de la cadena,
 
                               
 
Regla de la cadena para la función potencial
 
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
 
                                  
 
aplicando la regla de la cadena, será:
 
                                 [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
 
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
 
Así,
                          
 
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
 
Resolución:
 
· Si u = x2 + 1, u' = 2x
 
En este caso m = 3
 
· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
 
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que
 
                                            
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
Resolución:
 
 
· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
 
                          
 
· Se aplica la regla de la cadena:
 
 
Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
 
Resolución:
 
· u = sen x; u' = cos x
 
 
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
 
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
 
                                   f'(x) = (au )' = u' · au · ln a
 
                                         g'(x) = (eu )' = u' · eu
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
 
Resolución:
 
· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x
 
                        f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4
 
 
Resolución:
 
 
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
 
      
        
           
        
   
       
 
Ejemplos
 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)
 
Resolución:
 
· Si u = sen x, u' = cos x
 
f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)
 
Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)
 
Resolución:
 
· u = x2 - 1; u' = 2x
 
· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)
 
ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2
 
Resolución:
 
· Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.
 
· Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'
 
Llamando v = x2; u = sen v.
 
u' = v' · cos v = 2x · cos x2
 
· Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =
= 6x · sen2x2 · cos x2
 
Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.







Cálculo: Máximo y Mínimo

La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.
Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del movimiento:
Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.
La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.
En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones mas complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.
Tomado de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/maxmin.html el 6 de diciembre de 2013.


Ejercicio para entregar el Martes 10 de diciembre

La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa de valores funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x− 0.45x2 + 2.43x + 300
1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.