Matemáticas III
Tareas

Esta asignatura está organizada en siete bloques, con el objeto de facilitar la formulación y/ o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintas competencias en el estudiante. Los siete bloques para esta asignatura son los siguientes:

BLOQUE I RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permiten reconocer las características matemáticas que definen un lugar geométrico.
BLOQUE II APLICAS LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permiten explorar las posibilidades analíticas para realizar cálculos métricos de segmentos rectilíneos y polígonos.
BLOQUE III APLICAS LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
BLOQUE IV UTILIZAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
En los bloques III y IV el alumnado alcanzará desempeños que le permiten realizar un estudio de las propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE V APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA. En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permiten realizar un estudio de las propiedades geométricas de la circunferencia y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE VI APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permiten realizar un estudio de las propiedades geométricas de la parábola y de sus posibilidades analíticas.
BLOQUE VII APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE LA ELIPSE.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permiten analizar las características de elipses e hipérbolas y se destacan los casos con ejes paralelos a los ejes cartesianos.

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Programa de Matemáticas III

BLOQUE I RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares
Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas
Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico

Objetos de aprendizaje

Geometría analítica introductoria
Sistema de coordenadas rectangulares
Parejas ordenadas:
Igualdad de parejas
Lugares geométricos

Competencias a desarrollar

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desarrollo del bloque I

Introducción a la geometría analítica.

En los cursos anteriores de matemáticas I y matemáticas II estudiamos el álgebra y la geometría euclidiana; ahora estudiaremos una rama de las matemáticas que aborda problemas en los que intervienen elementos de ambas disciplinas. En esta rama, conocida como geometría analítica, se introduce el empleo de sistemas de coordenadas, mediante los cuales se pueden aplicar procedimientos algebraicos para estudiar situaciones geométricas y viceversa.

La geometría analítica estudia los elementos de la geometría euclidiana refiriéndolos a sistemas de coordenadas, como el cartesiano. En este texto nos limitaremos a estudiar solamente algunas figuras respecto de dicho sistema coordenado.

1.- Antecedentes históricos de la geometría analítica.

La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema matemático moderno y, por lo tanto, el padre de la geometría analítica.

La geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas. En este sentido, podemos entender a la geometría analítica como la parte de las matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de coordenadas, por métodos algebraicos.

Descartes, en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número y transforma así la geometría en aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos da lugar a otro segmento, Descartes relaciona los números con las mismas operaciones, y enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geométricos de carácter lineal y cuadrático pueden resolverse con regla y compás, pues los considera problemas del plano.

Descartes quiere resolver gráficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas paso a paso par mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado óvalo de Descartes; habla de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemática y que sus métodos de tangentes y normales son los más sencillos.

Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría sé reúnen en el trazado de gráficas de ecuaciones y desigualdades.

El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.

Geometría analítica

Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.

Lo que debes recordar

La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas.
René Descartes es considerado el creador o inventor de la geometría analítica.

2.- Sistemas de coordenadas cartesianas.

Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, par haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica.

Recordemos cómo se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen.

La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las x; la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y. Usando un segmento "unidad" conveniente, se divide cada eje de manera que los números enteros positivos queden a la derecha del origen sobre el eje x, y arriba del origen sobre el eje y. Los enteros negativos quedan a la izquierda del origen sobre el eje x, y abajo del origen sobre el eje y.

Tomando los ejes como elementos de referencia, se puede localizar cualquier punto situado en el plano que forman, procediendo en la forma siguiente: se indica la distancia del punto a la derecha o a la izquierda del eje horizontal, y la distancia hacia arriba o hacia abajo del eje vertical.

La abscisa es positiva o negativa según el punto P situado a la derecha o a la izquierda del eje horizontal; la ordenada es positiva o negativa según el punto este situado arriba o abajo del eje vertical.

A la abscisa y a la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado por una coma; el primero de estos números representa siempre a la abscisa y el segundo a la ordenada.

En general, un punto cualquiera por ejemplo el punto A, cuya abscisa es x y la ordenada y se designa mediante la notación A(x, y).

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, llamada cada una cuadrante; los cuadrantes se numeran con números romanos I, II, III, IV como se indica en la figura anterior.

3.- Localización de puntos en el plano.

En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plana, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y).

En el proceso graficador hay que tomar en cuenta loa signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes; para ello se emplea el papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano.

Ejemplo:

Traza un sistema coordenado rectangular y señala los puntos siguientes: (4, 3), (-1, 5), (-3, -2), (0, 1), (6, -4), (-6, 4). Traza, además, el segmento de recta que une los puntos (-3, -1) con (5, 6).

http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf

Quien fue René Descartes.

Revisa la siguiente liga para recordar el Plano Cartesiano

Plano Cartesiano

Ahora observa los siguientes videos

Que es un par ordenado Plano Cartesiano


Igualdad de parejas	Lugares geométricos

Lugares Geometricos:

Revisan el siguiente documento y elaboran un resumen en una presentacion en power point, una vez terminado formen un equipo de tres compañeros y envialo a la siguiente direccion electronico cobaep15@gmail.com (no olvides colocar los nombres de quienes participaron en su elaboración)
Liga para el documento Lugares geométricos
Fecha limite de envio 5 de septiembre.

BLOQUE II APLICAS LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Identifica las características de un segmento rectilíneo
Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos

Objetos de aprendizaje

Segmentos rectilíneos:
Dirigidos y no dirigidos
Distancia entre dos puntos
Perímetro y área de polígonos
Punto de división de un segmento
Punto medio

Competencias a desarrollar

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desarrollo del Bloque II

Distacia de entre dos puntos.

Recuerda, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x₂ – x₁) .

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio?

Supongamos que tenemos dos puntos sobre el mismo eje, ya sea x o y.

Para medir la distancia, en este caso de los ejes x lo que hacemos es asignar los nombres a cada punto
(x₁y x₂). Luego tomamos los valores y hacemos una resta. Así x₁– x₂= d_x,Lo mismo ocurre con y Y₂- Y₁= d_y

Distancia entre dos puntos.

Para encontrar la distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2, y2) que no estén en la misma recta vertical u
horizontal, construimos un triángulo rectángulo que tenga al segmento PQ por hipotenusa, como se muestra en la figura, las longitudes de los lados de los catetos son x2 − x1 y y2 − y1 . La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que "En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
Entonces:
d(P,Q )2 =( x2 − x1)2 +( y2 − y1 )2 , y por lo tanto: d(P,Q)=Raiz[( x2 − x1)2 +(y2 − y1)2] .
Observa que si los puntos están en la misma vertical o en la misma horizontal, uno de los dos sumandos
de la formula vale cero, pero el resultado sigue siendo cierto.

Si nos damos cuenta al trazar dos rectas, una con respecto al eje x y otra al eje y que pasen por nuestros puntos, tenemos un triángulo rectángulo, donde la línea que forman nuestros puntos es la hipotenusa.

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Así usando la fórmula del teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos tenemos que

Donde a y b son los -->d_x y d_y por lo que

Despejando la fórmula queda así

Distancia entre dos puntos

Ejemplo

Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

Ejercicios

Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

Consideramos como (Segmentos dirigidos) a aquellos segmentos con una propiedad dotada, denominada “Dirección”.

Dicha sirve como vía de objeto para indicar una distancia en 2 posibles direcciones , suponiendo que tenemos una distancia en estado natural.. Comúnmente llamada (Segmento dirígido positivo) al contrario de su distancia inversa (Negativo), es por ello que afirmamos que la propiedad consta de:

Siendo (A,B) los extremos de un determinado segmento y la igualdad prueba de la inversión de ellos motivo por el cual se afirma que es producto de una misma dirrección.

La conceptualización más certeza y eficaz podemos encontrarla en la noción de lo que es un <vector>, pues en él se observa claramente dicha propiedad comentada, ya que en uno de los aspectos cruciales en su estructura, ya que de lo contrario podría recaerse en redundacias e ambiguedades.

De tal manera que dicha noción solo puede coexistir en una misma recta, pues la dirección sugiere una distancia en forma natural y otra es estado opuesto.

Como se muestra:

Por otro lado, denominamos (Segmentos no dirígidos) a aquellos segmentos que carecen de la propiedad (Dirección), mejor conocidos como los segmentos comúnes o vectores no dirigidos.

Por ejemplo:

La existencia de una propiedad (Dirección) en cierta clase de segmentos propicia la noción de aspectos como:

- Función de (Vectorial - Segmentos).
- Velocidad de crecimiento (Tangente, Pendiente).

Los cuales constituyen un amplio comprendio de estudio a un nivel más avanzado..

Punto de division de un segmento dada un razon

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura:

Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulos rectángulos formados:

El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación

, como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,

Si el punto P(X, Y) se encuentra fuera de los extremos A y B en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:

Considerando los triángulos semejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetos de la siguiente manera:

Despejando a X;

factorizando

por lo tanto:

Análogamente:

despejando Y;

, factorizando

, por lo tanto:

Caso Particular:

Si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos:

Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:

En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:

Donde:

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Ejemplo

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Angulo de inclinación y pendiente de una recta

Consideramos como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.

Por ejemplo:

Dicha noción representa una pieza crucial, para algunas condiciones que se puedan presentar en un fenómenos naturales o producidos. Tal es el caso de la construcción de un puente que disponga de múltiples vías. Es necesario conocer la pendiente de una vía con respecto a otra para evitar una mala construcción del mismo.

Esta misma analogía podría ser ubicada en la comodidad del hogar, en las esquinas de las habitaciones. Si suponemos querer tener una habitación en la que la edificación de los cuartos cuadre es necesario, de cierta manera conocer a que ángulos inclinación estan dictadas las paredes.

Pues podría generarse una situación de una mala edificiación lo cual repercutiría en unos cuartos mal construidos. Todo estos detalles muy importantes para poder llevar un trabajo adelante.

Es por ello, que dicha noción debe ser tomada con seriedad pues uno nunca se imagina en la situación que podría ser útil.

La determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor, es realizado bajo el contexto de la trigonometría por medio de la (Tangente y su función inversa) o bien a través del analísis vectorial.. Ambos caminos conduciendonos al mismo resultado.

En esta ocasión nos limitaremos al (Caso de la trigonometría), pues el otro caso sugiere concepciones de otros objetos aún no presentados o conocidos por muchas personas. Motivo por el cual se toma la consideración anterior.

Ahora bién, supongamos que tenemos un segmento (Horizonte) cuya longitud es de 2 metros y poseemos una altura de 4 metros del segmento (Horizonte) a el segmento distante y no conocemos la longitud del (Segmento distante).

Y por supuesto deseamos conocer el (valor del ángulo) comprendido entre estos 2 segmentos.. Entonces tendríamos una escenario similar a éste:

Para ello empleamos un poco de trigonometría utilizando la razón (Tangente) seguido de la ejecución de la función (Tangente inversa) para determinar el correspondiente ángulo, como se muestra en la imagen.

Suponiendo que podemos referenciar un marco, donde es posible establecer la distancia entre un segmento u otro.. Y que por extraña razón no conocemos el valor de un segmento, lo cual fuera ilógico deduciendo que pudimos establecer una altura..

Y por consiguiente debemos conocer la longitud del (segmento distante) ya que de no ser así no hubiera sido posible deducir un punto de donde fijar la altura que contemplamos.

Todo ello por supuesto considerando que el entorno, genera los elementos necesarios para la utilización de las razones trigonometrícas osea exista un triángulo rectángulo en él. Ya que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.

Por el camino del (Analísis vectorial) se sugiere además de la noción de razones trigonometrícas, el conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de un (Sistema de coordenadas)..

En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como (Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad. Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos otros objetos más complejos.

Como se muestra, en la imagen:

Esta noción es la asociación común de la razón trigonometríca (Tangente) a un ámbito de continuidad.

La determinación en el caso de la recta unicamente consiste en tomar dos coordenadas de la recta evaluarlas de acuerdo al cociente indicado en la imagen y listo!, Constatando que en una recta la pendiente siempre es constante por lo tanto no implica un reto de determinación, pero la pendiente de una curva no es del todo sencilla de determinar..

De ello se encarga el cálculo diferencial, como más adelante se observará.

La recta

4.4 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA

4.4.1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

Fig. 4.6 Tómese sobre la recta los puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃(x_3,y₃). Al proyectar los puntos P_1,P₂ y P₃sobre el eje x, se obtienen los puntos P’₁, P’₂, P’₃.
Como los triángulos OP₁P’₁, OP₂P’₂ y OP₃P’₃ son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

ó y = mx (1)

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.)

fig. 4.7.

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y

y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces

, de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y)

l, y = mx + b = (tan

)x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

4.4.3. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P₁(x₁, y₁) y cuya pendiente m también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1)
Como P₁(x₁, y₁)

l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y₁ = mx₁ + b (2)

fig. 4.8

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y₁ = m(x – x₁) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:
y = mx + (y₁ – mx₁).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y₁ – mx

4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)

Sea l la recta que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) y llámese m₁ su pendiente.

....

Como l pasa por el punto P₁(x₁, y₁) y tiene pendiente m₁, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y – y₁ = m₁ (x – x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P₂(x₂, y₂)

l, entonces satisface su ecuación.

fig. 4.9.

Esto es y₂ – y₁ =

; de donde

(2) Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Observaciones

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P₁(x₁y₁) entonces la
ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0

....

4.4.5. Ecuación segmentaria de la linea recta

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:

Es decir,

de donde,

fig. 4.10 Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

4.4.6. Ecuación general de la linea recta

La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C

R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

Demostración
i. Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

(2)

La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

(fig. 4.11)

fig. 4.11.

ii.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

(3)

La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

(fig. 4.12)

fig. 4.12.

iii.

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es

y cuyo intercepto con el eje y viene dado por

(fig. 4.13)

fig. 4.13.

observaciones

    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)
(1B)
(1C)

En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo

en (1A)
Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
         viene dado por

y su coeficiente angular n, con respecto al eje y
viene dado por

.
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

ECUACION PRINCIPAL DE LA RECTA

 La ecuación principal de la recta es de la forma:

   y   =   m x  +  b

   Donde:

   m   es la pendiente de la recta  y

   P ( 0 , b )   es el punto de intersección de la recta  con  el eje Y

 DETERMINACION DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

 Si la recta pasa por los puntos  P ( x ₁ , y ₁ )  y  Q ( x ₂ , y ₂ ) , entonces su pendiente

es:

              y ₂  –  y ₁

  m   =   ––––––––––

           ( x ₂  -   x ₁ )

DETERMINACION DE LA ECUACION PRINCIPAL DE LA RECTA

 Si se conocen su pendiente  ( m )  y  las coordenadas de un punto de ella

P ( x ₁ , y ₁ ) , entonces:

   y  –  y ₁   =   m ( x  –  x ₁ )

 Si se conocen las coordenadas de dos puntos de ella  P ( x ₁ , y ₁ )  y  Q ( x ₂ , y ₂ ) ,

entonces:

   y  –  y ₁          y ₂  –  y ₁

  ––––––––   =   ––––––––––  ( x ₂   -   x ₁ )

   x  –  x ₁          x ₂  –  x ₁

 ECUACION GENERAL DE LA RECTA

 La ecuación general de la recta es de la forma:

   A x  +  B y  +  C   =   0

ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

 Si la recta no pasa por el origen  O ( 0 , 0 )  y  P ( a , 0 )  y  Q ( 0 , b )  son los puntos

de intersección de la recta con los ejes  X  e  Y  respectivamente, entonces su

ecuación simétrica es de la forma:

   x         y

  ––   +   ––   =   1

a b

El compañero Hassan resuelve el ejercicio siguiente:
Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x+2y+8=0

Ecuacion de la recta en forma normal

Sea el segmento OP de la longitud P, perpendicular a la recta L como se muestra en la figura:

Considerando el triángulo O P₁ R:

De trigonometría:

Así las coordenadas de A son A(p cos w, p sen w).

La pendiente m de la recta que pasa por el segmento OP₁ es:

Ahora obtendremos la ecuación de la recta L perpendicular al segmento OP₁ y que pasa por el punto A (p cos w, p sen w) aplicando la fórmula.

Y - Y₁ = m(X - X₁)

sen w (y-p sen w) = - cos w (x-p cos w)

NOTA :

Sabemos que 2 rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual o menor a 1.

Desarrollando términos

y sen w - p sen² w = - x cos w + p cos² w

y sen w + x cos w - p sen² w - p cos² w = 0

y sen w + x cos w - p(sen² w + cos² w) = 0

De trigonometría tenemos que, sen² w + cos² w = 1, por lo tanto:

y sen w + x cos w - p(1) = 0

y sen w + x cos w - p = 0, ordenando términos

x cos w + y sen w - p = 0 Forma Normal de la Línea Recta

REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL A NORMAL

Sean : Ax + By + C = 0, forma general de la recta.

X cos w + sen w - p = 0, forma general de la recta.

Sus coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales:

constante de proporcionalidad.

De esta manera tendremos:

--------------- ec I

--------------- ec II

--------------- ec III

Elevando al cuadrado las ecuaciones I y II y Sumando:

cos² w = K² A² .......... I

sen² w = K² B² .......... II

cos² w + sen² w = K² A² + K² B²

cos² w + sen² w = K²(A² + B²)

1 = K²(A² + B²)

Sustituyendo el valor tenemos:

Por tanto la forma normal de AX + BY + C = 0 es:

El signo del radical es opuesto al de C.

Si C = 0, el signo del radical se considera igual al de B.

Distancias de una recta a un punto

Distancia entre un punto y una recta from divino niño

Circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia

Centro de la circunferencia

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia

El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro mide el doble del radio.

Arco

Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Ejercicios de la longitud de una circunferencia.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

La distancia del punto al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

El punto pertenece a la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

La distancia del punto al centro es mayor que el radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Recta secante

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Ningún punto en común

Exteriores

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

Un punto común

Tangentes exteriores

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

Tangentes interiores

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en común

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos	Así podemos expresarla
	Donde: (d) Distancia CP = r y Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² También se usa como (x ─ h)² + (y ─ k)² = r²

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)² podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a² ─ 2ab + b².

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² (que en forma matemática representa una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x² ─ 2ax + a² + y² ─ 2by + b² ─ r² = 0   ecuación que ordenada sería
x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r² = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
a² + b² ─ r² = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x² e y² son iguales.
Si D = ─ 2a    entonces
Si E = ─ 2b    entonces
Si F = a² + b² ─ r² entonces
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a² + b² ─ F > 0 (a² + b² ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r² = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a² + b² ─ r² = C para tener finalmente
x² + y² + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x² + y² + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²
(x ─ 0)² + (y ─ 0)² = r²
x² + y² = r²

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html

geometría_analítica_antologia

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento

de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor

Es el segmento

de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor

Es el segmento

de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría

Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

(Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces)

A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a² = b² + c² Þ b² = a² – c² (piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe debe medir a y el otro cateto c ), reemplazando en la ecuación tenemos que:

b²x² + a²y² – a²b² = 0 Þ b²x² + a²y² = a²b²

dividiendo entre a²b² obtenemos que:

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x₀+c, y₀) y F'(x₀−c, y₀). Y la ecuación de la elipse será: